Como funciona o GPS ?

Embora este não pretenda ser propriamente um tópico de discussão, e abundem pela Internet várias artigos sobre este assunto específico, achei que o Portal PPC também já merecia ter o seu próprio artigo, em português, sobre o funcionamento do GPS.

Embora mantenha na íntegra o texto e considerações originais, esta 2ª Edição do tópico foi aumentada com o propósito de incluir agora maior detalhe na descrição de alguns pontos e, tanto quanto possível, representar e justificar graficamente os raciocínios e cálculos envolvidos de forma dar uma noção mais clara dos fundamentos trigonométricos que servem de base a toda a implementação do GPS (ou de qualquer outro sistema semelhante), tanto no que diz respeito ao cálculo matemático de uma posição espacial em 3D, como na determinação dos efeitos da dilatação do tempo previstos pela Teoria da Relatividade de Einstein.

Este tópico dá, por opção pessoal minha, um especial destaque ao facto de o GPS recorrer, e a vários níveis, à extrema importância do simplicíssimo e velhinho Teorema de Pitágoras e do polivalente triângulo rectângulo:

"O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos"

O que é o GPS ?
O sistema GPS (Global Positioning System) é composto actualmente por 24 satélites activos e 3 de reserva colocados numa órbita a 20.200 km de altitude, e distribuídos por 6 planos orbitais diferentes para que qualquer ponto da superfície da Terra esteja, em qualquer momento, "em linha de vista" com pelo menos 4 satélites.

Imagem: Garmin

Inicialmente criado com intuitos exclusivamente militares e gerido pelo Departamento de Defesa do Estados Unidos foi definitivamente aberto à utilização pública no ano 2000. E a partir dessa data ficou disponível para todos a capacidade de determinação da posição geográfica e de navegação entre quaisquer dois pontos da superfície terrestre.

Este sistema, bem como os seus equivalentes, o europeu Galileu e o russo Glonass, recorrem a um processo geométrico de trilateração (e não "triangulação" como é frequente ler-se, erradamente, em vários documentos, livros, etc. Com efeito, este processo mede lados, as distâncias do objecto a cada um dos satélites e não os ângulos entre si. Não se procede a qualquer medida dos ângulos!)

Desde Agosto de 2000 que, graças à introdução do WAAS (Wide-Area Augmentation System) que a precisão do GPS é inferior a 2 metros. E com o recurso ao DGPS (Differential GPS), utilizando emissores fixos, na superfície terrestre, essa precisão pode atingir 1 centímetro!

O sinal emitido pelos satélites para utilização civil, no canal primário L1, é transportado por uma onda de rádio na frequência de 1575.42 MHz.

Como é medida a distância do receptor aos satélites do GPS?

Tudo se resume a medir o tempo que o sinal emitido por cada satélite demora a atingir a nossa antena receptora. A velocidade a que este sinal se propaga pelo espaço vazio é, obviamente, de (cerca de)300.000 km/s. Depois é só multiplicar esta velocidade pelo tempo medido e obtemos a distância.

Então qual é o problema?

O problema é a enorme precisão exigida para se poder medir o tempo decorrido desde a emissão do sinal até à sua chegada ao receptor. É que estamos a falar da velocidade da luz ! E se o sinal viaja a 300 milhões de metros por segundo, então, para obtermos medições de distâncias com a precisão de 1 metro é preciso conseguirmos medir o tempo com uma precisão na ordem dos 0,000000003 segundos (entre 3 e 4 nanossegundos)!

Para medir diferenças temporais dessa ordem é necessário que todos os intervenientes, os satélites e os receptores, disponham de relógios extremamente precisos. Os satélites cumprem esse requisito pois possuem relógios atómicos caríssimos, mas os nossos receptores dispõem apenas de vulgares relógios de quartzo. Para ultrapassar esse inconveniente o sistema GPS recorre a um artifício engenhoso: faz com que o relógio do nosso receptor esteja constantemente a ser actualizado com a hora atómica transmitida pelos satélites do sistema GPS. De facto, o nosso PDA, telemóvel, ou qualquer outro equipamento que esteja ligado a uma antena de GPS apresenta a hora absolutamente correcta. Nenhum relógio de pulso, por mais caro que seja, poderá competir com a precisão deste relógio atómico em que o nosso PDA se transformou!

De um satélite que esteja colocado exactamente por cima da nossa cabeça - ou seja, à mínima distância possível de 20.200km- o sinal demorará cerca de 0,0673 segundos (20.200/300.000) a chegar-nos. O sinal de um segundo satélite, colocado perto do horizonte terrestre à máxima distância (teórica) possível para estar em "linha de vista", ou seja, a cerca de 25.800km de distância de nós, demorará, em teoria, cerca de 0,0860s (25.800/300.000) a atingir o nosso receptor.

No entanto estes são os casos extremos. Os 4 satélites necessários estarão necessariamente em posições intermédias destas e mais próximas entre si. Considerando um exemplo em que um satélite esteja a 45º do horizonte estará à distância de cerca de 21.683 km e o sinal demorará 0,0723s até chegar ao nosso receptor.

Saber a que distância estamos de cada satélite chega para sabermos a nossa posição?

Claro que não. Primeiro é preciso sabermos onde está cada satélite. Como podemos saber isso? São os próprios satélites que nos dizem. Cada um deles comunica ao nosso receptor, um almanaque com a sua posição no espaço em cada momento para podemos determinar a nossa própria posição.

Quantos satélites são necessários para determinar a nossa posição?

Em teoria, três! Mas leu algures que são necessários quatro? Bom, na prática são usados quatro. Vejamos melhor porquê...

Com um satélite do qual conhecemos a distância a que está de nós, apenas nos é possível dizer que a nossa localização é um ponto qualquer sobre uma esfera imaginária com raio igual a essa distância:

Ainda sabemos muito pouco sobre a nossa localização. As possibilidades são em número infinito, distribuídas por uma superfície esférica, em 3 dimensões espaciais.

Mas se conhecermos também a distância a que estamos de um segundo satélite, já nos é possível afirmar que a nossa posição é um ponto qualquer sobre a circunferência imaginária que resulta da intersecção das duas esferas:

Agora as possibilidades, embora sejam ainda em número infinito, já estão limitadas ao plano da circunferência, em duas dimensões.

Com um terceiro satélite, a intersecção desta última esfera com a circunferência reduz a ambiguidade sobre a nossa localização a 2 pontos. Mas como um dos pontos pode ser eliminado pela simples razão de se encontrar no espaço e nós sabemos estar na superfície da Terra...

...está encontrada a nossa posição

De facto o terceiro satélite é suficiente para determinar o ponto onde nos encontramos. Mas então...

Para que serve o quarto satélite ?
Primeiro que tudo: dispensa a utilização do raciocínio atrás descrito. O quarto satélite permite "escolher" um dos 2 pontos anteriormente determinados e sabermos, além da latitude e da longitude (duas dimensões), a altitude exacta da nossa localização.

Mas, mais importante: permite verificar se existe o essencial sincronismo de todos os relógios.

De facto, se as medidas que o nosso receptor fez das distâncias forem perfeitas - com o seu relógio perfeitamente sincronizado com os dos satélites - então as 4 esferas intersectam-se num único ponto. Mas se as medidas forem imperfeitas, isso não acontecerá.

Então o receptor, alertado para o erro pela quarta medição, aplicará o factor de correcção necessário para que as 4 esferas se intersectem num único ponto.

E é nesta altura que passamos a ter na nossa mão, como bónus, um relógio tão preciso quanto os mais caros relógios atómicos!

Como são calculadas as distâncias ?

Como se viu antes, a determinação da nossa posição depende de um simples método geométrico de trilateração que se resume à medição das distâncias até três ou quatro pontos de referência, cuja posição é conhecida, os satélites do sistema GPS.

Como não é possível esticar uma fita métrica desde o nossa posição na Terra até cada um dos satélites, é necessário determinar a distância doutra forma. No caso vertente, medindo o tempo que um sinal - de velocidade conhecida - demora a chegar até nós

e aplicando a trivial fórmula:

ou seja,

em que, v = velocidade, e = espaço, t = tempo

A distância e, entre o nosso receptor e cada um dos satélites, é a incógnita que se pretende determinar. A velocidade v, será neste caso a da luz, constante e conhecida. Mas o tempo t, decorrido entre a "partida" e a "chegada" do sinal, terá que ser calculado pelo nosso receptor de GPS. E é precisamente na medição precisa deste lapso de tempo que reside uma das dificuldades práticas da implementação do GPS dado que ela é afectada por diversos factores que a podem falsear !

Nota: Adaptando esta fórmula ao caso específico do GPS temos Pr = c(TS-TR) o chamado pseudorange que dá uma estimativa aproximada da distância a que o satélite se encontra do receptor.

O que pode provocar imperfeição das medições ?

Existem vários factores que podem afectar a exactidão das medições e, consequentemente, a determinação da posição precisa do receptor:

A velocidade (c) de propagação do sinal é diminuída ao atravessar a atmosfera. As duas camadas com interferência na forma de propagação da radiação electromagnética são a ionosfera - por ser composta por átomos ionizados pela radiação solar - e a troposfera - por conter alto teor de humidade. Este efeito é imprevisível e é tanto maior quanto mais próximo o satélite estiver do horizonte. É usualmente corrigido pela aplicação de modelos, pela utilização de duas frequências diferentes (L1 e L2), etc.

A desactualização temporária dos dados transmitidos, uma vez que os almanaques são emitidos pelos satélites apenas a cada 12 minutos e meio e as efemérides a cada 30 segundos, também pode diminuir a precisão do GPS. O mesmo acontece devido aos eventuais e imprevisíveis reflexos do sinal provocados por edifícios altos, pela orografia do terreno circundante, etc.

Outro dos factores que afectam a exactidão das medições é o efeito relativístico da dilatação do tempo, previsto pela Teoria da Relatividade de Einstein.
E este é aquele cuja correcção é, na minha opinião, de longe a mais interessante. Que mais não seja porque, ao contrário do que acontece com os outros factores, neste caso o erro provocado é acumulável; e se não fosse corrigido provocaria erros absolutamente inaceitáveis tornando o GPS completamente inútil mesmo para a menos exigente das utilizações.

Efectivamente, a Teoria da Relatividade Restrita (TRR), prevê que um relógio em movimento em relação a um sistema de referência - a Terra, neste caso - funcione mais lentamente que um relógio (absolutamente idêntico) colocado na superfície da Terra e que essa diferença será tanto maior quanto maior for a velocidade relativa do relógio em movimento.

Nota importante: Tanto o relógio em movimento como o relógio "em repouso" apresentam medições correctas do tempo... no seu próprio sistema de referência. Um hipotético astronauta, a bordo de um satélite do sistema GPS veria a sua vida decorrer a um ritmo absolutamente normal. Ele demoraria exactamente o mesmo tempo a ler um livro que levaria na Terra. O seu tempo de vida seria o mesmo. O tempo medido por um relógio em movimento só é mais lento do ponto de vista de um observador noutro sistema inercial, que usa o seu próprio relógio como referência para a comparação.

Por seu lado, a Teoria da Relatividade Geral (TRG) prevê que um relógio colocado sob a influência de um campo gravitacional (como o da Terra) funcione mais lentamente que um outro relógio colocado fora da influência desse campo.

Ou seja: o efeito da "dilatação cinética do tempo" prevista pela TRR tende a fazer o relógio de um satélite GPS mais lento que o relógio do nosso receptor, mas por outro lado, o efeito da "dilatação gravítica do tempo" tenderá a fazê-lo mais rápido que o do nosso receptor. O efeito conjunto faz com que o relógio do satélite se atrase, em relação ao "tempo da Terra" cerca de 38ms (milissegundos) por dia.

Se esta diferença não fosse levada em conta, a Relatividade faria - considerando apenas o rápido movimento dos satélites e a acção da gravidade - com que fosse acumulado um erro de posicionamento do GPS da ordem dos 11.524 metros por dia (c x 38ms).
Um erro absolutamente inaceitável !!!

Para ver uma demonstração matemática, mais pormenorizada, clique aqui (Nota: Será redireccionado para fora do Portal PPC. Use os botões do seu browser para regressar).

Como é determinada a posição do receptor ?
Uma vez conhecidas as distâncias a cada um dos satélites há que calcular as coordenadas tridimensionais da posição do nosso receptor: XR, YR e ZR.

Para isso há que recorrer novamente... ao Teorema de Pitágoras e ao maravilhoso e polivalente triângulo rectângulo!

Como se pode constatar em alguns sites dedicados ao tema do GPS, a fórmula utilizada na determinação da posição poderá ser semelhante a esta:

c(TS-TR) = ((XS - XR)2 + (YS - YR)2 + (ZS - ZR)2)1/2

em que c = velocidade da luz,TS = tempo da emissão, TR = tempo da recepção,
XS, YS, ZS = posição do satélite, e XR, YR, ZR = posição do receptor.
Nota: o produto c(TS-TR) constitui o chamado pseudorange.

mas o que normalmente não se explica é o porquê desta fórmula. Vamos ver...

Os parâmetros conhecidos são TS (a hora de emissão do sinal), XS, YS, ZS (a posição do satélite) e, claro, a velocidade do sinal c (299792,458 km/s).

As incógnitas são quatro : XR, YR, ZR (a posição do receptor) e TR (a hora de recepção do sinal).

Quatro incógnitas => quatro equações = > quatro satélites

Primeiro que tudo há que estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas. O GPS utiliza um sistema ECEF (Earth Centered - Earth Fixed) - mais concretamente o WGS-84 - em que, como o próprio nome indica, se considera que o sistema de coordenadas tem origem no centro de massa da Terra e, estando-lhe fixo, roda com ela.

No ECEF, o eixo "vertical" (o eixo de rotação da Terra) é o dos ZZ, o eixo dos XX é a interseccção do plano do meridiano principal (de Greenwich) com o plano do Equador

Para aumentar a clareza da imagem vamos "tirar a Terra da frente" e projectar a posição do satélite e do receptor, por agora apenas em 2D, no plano XY (rodando os eixos apenas para manter a orientação, mais familiar, de um sistema cartesiano a duas dimensões: com o eixo dos YY na vertical e dos XX na horizontal).

E agora vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a distância h, no plano XY, entre o satélite S e o receptor R.

ou seja: h = ((XS - XR)2 + (YS - YR)2 )1/2

E o passo seguinte - uma nova aplicação do mesmo Teorema - permite-nos determinar a distância SR.
Vendo "por cima", para ficar mais claro...

ou seja: SR = (h2 + (ZS - ZR)2)1/2

donde que

SR = ((XS - XR)2 + (YS - YR)2 + (ZS - ZR)2)1/2

ou, como acima:

c(TS-TR) = ((XS - XR)2 + (YS - YR)2 + (ZS - ZR)2)1/2

Nota final:

É evidente que existem outros cálculos matemáticos mais complexos envolvidos na implementação prática do GPS, nomeadamente no que diz respeito aos modelos a aplicar p.e. para corrigir os efeitos do atravessamento da troposfera e da inosfera, à conversão de coordenadas entre ECEF e ECI, etc.

Os cálculos e raciocínios atrás descritos permitem no entanto ter-se noção dos fundamentos trigonométricos que servem de base a toda a implementação do GPS ou de qualquer outro sistema semelhante.

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